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*[分布理论]: 广义函数论

分布理论^[1]

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§ 公式输入^[2]

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§ 狄拉克符号测试

$$\braket{\phi\vert\psi}$$

$$\widehat{\text{考研}}\ket{\text{我}} = \lambda\ket{\text{我}}$$

$$\begin{aligned} [xL_x,L_z]&=[x,L_z]L_x+x[L_x,L_z]\\ &=-i{\hbar}yL_x-i{\hbar}xL_y \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} [x,L_z]=-i{\hbar}y\\ [\alpha,L_{\beta}]=i{\hbar}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\gamma\\ [L_x,L_z]=-i{\hbar}L_y \\ \end{aligned}$$

$$\widehat{\text{爱情}}\ket{\text{爱情}}=a\ket{\text{爱情}}$$

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列宁说：“同志们，当革命还正在进行的时候，就是说当整个阶级在灭亡，它和一个人的死亡是完全不相同的。人死后尸体可以抬出去，但是旧社会在灭亡了的时候，很可惜，资产阶级的这个尸体那就不可能把它一下子钉在棺材里，埋葬在坟墓里。资产阶级的尸体在我们的心里头腐烂着，他把毒气传染给我们大家，他在散发着臭气！布列斯基同志的被暗杀说明了反革命对我们的白色恐怖。被人民意志所判决的叛徒们，一定要无情地消灭他们！我们让资产阶级们去发疯吧！让那些无价值的灵魂去哭泣吧。工人同志们，我们的回答就是这样的。加上三倍的警惕，小心和忍耐，大家应当守住自已的岗位。同志们，你们必须要记住：我们只有一条出路，那就是胜利！还有另外一条出路，死亡。 死亡不属于工人阶级！” ——《列宁在1918》

想象一座幽暗的洞穴，一群囚徒自幼被锁链禁锢，面朝洞壁而坐。他们身后有一团火光，有人举着器物在火光前穿梭，器物投射的影子在洞壁上摇曳生姿。囚徒们终生凝视这些影子，将其视为世界的全部。他们为影子的变幻欢笑或哭泣，为影子的争斗热血沸腾，却从未意识到，自己不过是这场影子戏剧的观众，而非参与者。若有一位囚徒挣脱锁链，强迫自己转身，他将经历一场认知的“地震”。火光刺痛双眼，真实器物在火光中显现，他意识到过去视为真实的影子竟是虚幻。这一觉醒伴随着剧烈的眩晕与困惑，如同从梦中惊醒却不愿承认梦境的虚幻。觉醒者面临两种选择：留在洞穴外，沐浴真理的阳光，但永远失去与同伴的共鸣；或返回洞穴，试图唤醒他人，却可能被当作疯子。—— 柏拉图《理想国》

我想知道上帝怎样创造了这个世界，对这样或那样的具体现象我不太感兴趣。我想知道世界的内在规律，其余则是细枝末节。 ——爱因斯坦
童年的两件趣事极大地丰富了我对世界的理解力，并且引导我走上成为一个理论物理学家的历程。记得那时我的父母不时带我去旧金山游览著名的日本茶园。我蹲在那里的一个小池边，为慢慢畅游在水底睡莲之中五彩斑斓的鲤鱼所陶醉。这是我最快乐的童年记忆之一。在那静静的时刻，我充满了无限的遐想。我常常给自己提一些只有小孩才问的问题，比如水池中鲤鱼怎样观察它们周围的世界。我想，它们的世界一定奇妙无比！鲤鱼们的一生就在这浅浅的水池中度过。它们相信它们的“宇宙”就有阴暗的池水和睡莲构成。它们大部分时间在池底漫游，因此它们只模糊地意识到在水面之上存在有另一个外部世界。我的世界的本质超过了它们的理解能力。我喜欢坐在距离利于仅仅几十厘米的地方，然而，我们之间却如距深渊。鲤鱼和我生活在两个截然不同的宇宙之中，从来不进入对方的世界，我们之间被水面这一薄薄的“栅栏”分隔开来。我曾想：在水底的鱼群中可能有一些鲤鱼“科学家”。我想这个鲤鱼“科学家”会对那些提出在睡莲之外还存在有另外一个平行世界的鱼冷嘲热讽。他们认为，唯一真实存在的事物就是鱼儿们看得见摸得着的。水池就是一切。水池之外看不见的世界没有科学意义。 —— 加来道雄《一名物理学家的教育历程》

§ 时间轴

§ 图片、表格

§ 流程图

HTTP 基本请求

sequenceDiagram

    participant 客户端（浏览器）

    客户端（浏览器）->>服务器（网页）: 请求头

    服务器（网页）-->>客户端（浏览器）: 响应头

§ 网页长表分页 ^[3]

名称：春水堂 160cm D杯 全硅胶娃娃 洛璃

状态：想要

品牌：春水堂（CST）

身高：160cm

体重：~28kg

胸围：86cm（D杯）

腰围：58cm

臀围：88cm（蜜桃臀）

材质：液态铂金硅胶

头雕：洛璃（植发套发）

骨架：47关节合金骨架

功能：口腔+通道+无钉站立+胸臀加软+蜡像级涂装+紧身小脚

出荷：现货

价格：¥3999

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评价：前凸后翘，丰乳肥臀，妩媚妖娆。娃界小米，全硅胶入门首选。

§ 图表交叉引用

图片交叉引用：图 2-1 图 2-2 图 2-3
表格交叉引用：表 2-1 表 2-2 自定义 $\KaTeX$ 宏

§ 乐谱

§ 简谱

§ 音乐、视频

§ 练习题

1. 编译时多态主要指运算符重载与函数重载，而运行时多态主要指虚函数。

   解析
   ✔️

2. 有基类 SHAPE，派生类 CIRCLE，声明如下变量：

   	SHAPE shape1,*p1;
   	CIRCLE circle1,*q1;

   下列哪些项是 “派生类对象替换基类对象”。

   • p1=&circle1;
   • q1=&shape1;
   • shape1=circle1;
   • circle1=shape1;

     • ✔️ 令基类对象的指针指向派生类对象
     • ❌ 派生类指针指向基类的引用
     • ✔️ 派生类对象给基类对象赋值
     • ❌ 基类对象给派生类对象赋值

3. 关于业余无线电爱好者的定义，下列说法正确的是：

   • 业余无线电爱好者系指经正式批准的、对无线电技术有兴趣的人
   • 其兴趣纯系个人爱好而不涉及谋取利润
   • 其兴趣纯系个人爱好可涉及谋取利润
   • 只有成年人能成为业余无线电爱好者

     • ✔️ 业余无线电爱好者系指经正式批准的、对无线电技术有兴趣的人
     • ✔️ 其兴趣纯系个人爱好而不涉及谋取利润
     • ❌ 其兴趣纯系个人爱好可涉及谋取利润
     • ❌ 只有成年人能成为业余无线电爱好者

4. 下列叙述正确的是 D。

   • 虚函数只能定义成无参函数
   • 虚函数不能有返回值
   • 能定义虚构造函数
   • A、B、C 都不对

     解析

5. 如果定义 int e=8; double f=6.4, g=8.9;，则表达式 f+int (e/3*int (f+g)/2)%4 的值为 9.4。

   注意运算顺序和数据类型
   8.4

6. 态叠加原理。

   若 $\psi_1\left(\vec{r},t\right)$ 和 $\psi_2\left(\vec{r},t\right)$ 分别代表体系的两个可能的运动状态，则它们的任何一个线性叠加 $\tilde{\psi}\left(\vec{r},t\right)=C_1\psi_1\left(\vec{r},t\right)+C_2\psi_2\left(\vec{r},t\right)$ 也是体系的一个可能的状态。

7. 写出以下代码段的执行结果：

   print("Hello World!");

   Hello World!

8. 证明厄米算符的本征值是实数。

   以 $\lambda$ 表示 $\hat{F}$ 的本征值，$\psi$ 表示所属的本征函数，则有 $\hat{F}\psi=\lambda\psi$ 。
   根据厄米算符的定义：

   $$\int{\psi^{*}\hat{F}\phi\,\mathrm{d}x}=\int{(\hat{F}\psi)^{*}\phi\,\mathrm{d}x}$$

   若取 $\phi=\psi$ ，于是有：

   $$\lambda\int{\psi^{*}\psi\,\mathrm{d}x}=\lambda^{*}\int{\psi^{*}\psi\,\mathrm{d}x}$$

   由此得：

   $$\lambda=\lambda^{*}$$

   即 $\lambda$ 为实数。⌈证毕⌋

9. 已知：粒子作一维运动，$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2\mu}+V(x)$ ，定态波函数为 $\ket{n}:\;\hat{H}\ket{n}=E_n\ket{n},\;n=1,2,\cdots$ 。

   1. 证明 $\bra{n}\hat{p}\ket{m}=a_{nm}\bra{n}x\ket{m}$ $(1)$ 并求系数 $a_{nm}$ ；
   2. 利用式 $(1)$ 推导求和公式 $\sum_{n}(E_n-E_m)^2\vert\bra{n}x\ket{m}\vert^2=\frac{\hbar^2}{\mu^2}\bra{n}p^2\ket{m}$ $(2)$ ；
   3. 证明 $\sum_{n}(E_n-E_m)\vert\bra{n}x\ket{m}\vert^2=\frac{\hbar^2}{2\mu}\;$ $(3)$ 。

   1. 利用对易关系式

   $$\left[x,\hat{H}\right]=\left[x,\frac{\hat{p}^2}{2\mu}+V(x)\right]=\frac{\mathrm{i}\hbar}{\mu}\hat{p}\tag{4}$$

   可以将动量 $\hat{p}$ 表示为

   $$\hat{p}=\frac{\mu}{\mathrm{i}\hbar}\left[x,\hat{H}\right]\tag{5}$$

   $$\begin{align*} \left\langle n\right|\hat{p}\left|m\right\rangle &=\frac{\mu}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle n\right|\left[x,\hat{H}\right]\left|m\right\rangle\\ &=\frac{\mu}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle n\right|\left(x\hat{H}-\hat{H}x\right)\left|m\right\rangle\\ &=\frac{\mathrm{i}\mu}{\hbar}(E_n-E_m)\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\tag{6} \end{align*}$$

   式 (1) 得证，且

   $$a_{nm}=\frac{\mathrm{i}\mu}{\hbar}(E_n-E_m)\tag{7}$$

   式 (6) 可以表示为

   $$(E_n-E_m)\bra{n}x\ket{m}=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{\mu}\bra{n}\hat{p}\ket{m}\tag{8}$$

   ⌈证毕⌋

   2. 利用式 (8) 与 $\ket{n}$ 的完备性公式 $\textcolor{red}{\displaystyle\sum_{n}\ket{n}\bra{n}=1}$ ，

   $$\begin{align*} &\sum_{n}(E_n-E_m)^2|\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle|^2\\ &=-\sum_{n}\left\langle m\right|x\left|n\right\rangle(E_n-E_m)\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\\ &=-\left(-\frac{\mathrm{i}\hbar}{\mu}\right)^2\sum_{n}\left\langle m\right|\hat{p}\left|n\right\rangle\left\langle n\right|\hat{p}\left|m\right\rangle\\ &\quad\;-\frac{\hbar^2}{\mu^2}\left\langle m\right|\hat{p}\sum_{n}\left|n\right\rangle\left\langle n\right|\hat{p}\left|m\right\rangle\\ &=\frac{\hbar^2}{\mu^2}\left\langle m\right|\hat{p}^2\left|m\right\rangle\tag{9} \end{align*}$$

   式 (2) 得证 ⌈证毕⌋

   3. 仍然利用式 (8) 与 $\ket{n}$ 的完备性公式：$\textcolor{red}{\displaystyle\sum_{n}\ket{n}\bra{n}=1}$ ，证明式 (3)：

   $$\begin{align*} &\sum_{n}(E_n-E_m)|\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle|^2\\ &=\sum_{n}(E_n-E_m)\left\langle m\right|x\left|n\right\rangle\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\\ &=\frac{1}{2}\sum_{n}\Big[(E_n-E_m)\left\langle m\right|x\left|n\right\rangle\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\\ &\qquad\qquad\quad -(E_m-E_n)\left\langle m\right|x\left|n\right\rangle\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\Big]\\ &=\frac{1}{2}\sum_{n}\Big(-\frac{\mathrm{i}\hbar}{\mu}\left\langle m\right|x\left|n\right\rangle\left\langle n\right|\hat{p}\left|m\right\rangle\\ &\qquad\qquad\quad +\frac{\mathrm{i}\hbar}{\mu}\left\langle m\right|\hat{p}\left|n\right\rangle\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\Big)\\ &=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2\mu}\Big(\left\langle m\right|x\sum_{n}\left|n\right\rangle\left\langle n\right|\hat{p}\left|m\right\rangle\\ &\qquad\qquad\quad -\left\langle m\right|\hat{p}\sum_{n}\left|n\right\rangle\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\Big)\\ &=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2\mu}\left\langle m\right|x\hat{p}-\hat{p} x\left|m\right\rangle\\ &=\frac{\hbar^2}{2\mu}\tag{10} \end{align*}$$

   ⌈证毕⌋

10. 两数之和。来源：LeetCode

    问题描述

    给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target，请你在该数组中找出和为目标值 target 的那两个整数，并返回它们的数组下标。你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。你可以按任意顺序返回答案。
    示例 1：

    输入：nums = [2,7,11,15], target = 9
    输出：[0,1]
    解释：因为 nums[0] + nums[1] == 9 ，返回 [0, 1] 。

    示例 2：

    输入：nums = [3,2,4], target = 6
    输出：[1,2]

    示例 3：

    输入：nums = [3,3], target = 6
    输出：[0,1]

    提示：

    • 2 <= nums.length <= 104
    • -109 <= nums[i] <= 109
    • -109 <= target <= 109
    • 只会存在一个有效答案

    进阶：你可以想出一个时间复杂度小于 O(n2) 的算法吗？

    	class Solution:
    	def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
    	length = len(nums)
    	for i in range(length):
    	num = target - nums[i]
    	if num in nums:
    	j = nums.index(num)
    	if i != j:
    	return i, j

§ 思维导图

§ 从文件中插入代码

春江潮水连海平，海上明月共潮生。

滟滟随波千万里，何处春江无月明！

江流宛转绕芳甸，月照花林皆似霰。

空里流霜不觉飞，汀上白沙看不见。

江天一色无纤尘，皎皎空中孤月轮。

江畔何人初见月？江月何年初照人？

人生代代无穷已，江月年年望相似。

不知江月待何人，但见长江送流水。

白云一片去悠悠，青枫浦上不胜愁。

谁家今夜扁舟子？何处相思明月楼？

可怜楼上月裴回，应照离人妆镜台。

玉户帘中卷不去，捣衣砧上拂还来。

此时相望不相闻，愿逐月华流照君。

// 量子随机数生成器

def quantumRandomNumber(n: ℕ): ℕ {

  v := vector(n, 0: 𝔹);

  for i in [0..n) {

    v[i] := H(false);

  }

  return measure(v);

}

// 量子傅里叶变换

def qft(n: ℕ, q: ℕ) {

  for i in [0..n) {

    H(q[i]);

    for j in [i+1..n) {

      CPhase(π / 2^(j-i), q[j], q[i]);

    }

  }

}

// 主函数

def main() {

  // 生成 5 位量子随机数

  random := quantumRandomNumber(5);

  println("随机数: ", random);

  // 创建量子状态

  state := 0: ℕ[2];

  qft(2, state);

  // 断言检查

  assert(random ≥ 0 && random < 32, "随机数超出范围");

  /* 这是一个多行注释

     演示注释高亮效果 */

  return 0;

}

// 特殊字符测试

def testSpecialChars() {

  // 支持的类型字符

  x: 𝟙 = ();

  y: 𝔹 = true;

  z: ℕ = 42;

  w: ℤ = -1;

  r: ℝ = 3.14;

  // 内置函数

  H(y);

  phase(π/2, y);

  rotX(π/4, y);

  measure(y);

  return;

}

def main() {

    x := 0: 𝔹;

    x := H(x);

    return measure(x);

}

§ Pixiv 每日排行榜 Top50

§ 石蒜模拟器

§ 参考资料