第三章 力学量的算符表示与表象变换

# 力学量的定义及其算符表示

Heisenberg 要求一个力学量必须是实验上可以观测的量，从而导致了力学量的矩阵表示的概念。Schrödinger 将动量用算符表示为 $\hat{P}=\frac{\hbar}{i}\nabla$ 。量子力学能够告诉我们的实际上是一个被观测的体系如何同按照经典规律运行的 “仪器” 相互作用。

为将这些概念有机地结合起来，Landau 和 Lifschitz 在他们合著的《非相对论量子力学》一书的第一章中做了如下讨论：

当一台经典仪器作用到被观测的量子客体上时，我们称为进行了一次操作(Operation)。目的是要得到标志着该量子客体状态的一些物理量的数值。

两种情况：

1. 第一类测量：在做了第一次测量之后，仪器给出确定的读数，但是再用同样的仪器对同一客体做第二次、第三次测量，仪器可能给出确定的、然而是不同的读数。
2. 第二类测量：在做了第一次测量之后，仪器给出确定的读数，再用同样的仪器对同一客体做第二次、第三次测量时，仪器仍以百分之百的几率给出同一确定的读数。

绝大多数测量过程属于第一类。第二类测量被称为可预测的(Predictable)，在量子力学中起着极为重要的作用。符合这种测量的才是标志一个量子客体所处状态的一个力学量，即力学量的测量。如果对于一个态的某一种力学量的测量连续两次给出同一确定数值，就称这个态为该力学量的本征态，而对应的读数则称为它的一个本征值。

令 $\psi_n(x)$ 为一个能量力学量的本征态，并且对应本征值 $E_n$ 。现引入算符(Operator)$\hat{H}$ 表示对于能量本征态 $\psi_n(x)$ 进行关于 “能量” 这一力学量测量的操作。

$$\hat{H}\psi_n(x)=E_n\psi_n(x)$$

同理，可以定义坐标、动量或是角动量等力学量算符及其所对应的本征值和本征态。但是坐标是一个极其特殊的力学量。对它两次连续测量可能给出不同的读数。仅对力学量测量的本征态定义了算符的操作，为了更有效地利用这一数学表达，需将定义扩充：

对于某一量子客体的一个力学量 $\hat{Q}$ 测量所得到读数的全体 $\{q_n\}$ 应该是穷尽了所有可能的值。
换言之，相应本征态族 $\{\phi_n\}$ 在该量子客体所有可能的状态构成的线性空间中应该是完备的。
也就是，任何一个该量子客体的可能状态 $\phi$ 都可以写成 $\{\phi_n\}$ 的一个线性组合，即

$$\phi=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\phi_n\quad \left(\int_{\Omega}|\phi|^{2}\mathrm{d}r<\infty\right)$$

对于这样一个态，定义

$$\hat{Q}\phi=\hat{Q}\sum_{n=1}^{\infty}C_n\phi_n=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\hat{Q}\phi_n=\sum_{n=1}^{\infty}C_nq_n\phi_n \tag{1}$$

算符 $\hat{Q}$ 视为空间 $L^2(\Omega)$ 的线性算符（或线性变换）

$$\hat{Q}\phi=\psi,\quad \phi\in L^2(\Omega),\quad \psi\in L^2(\Omega)$$

$\hat{Q}$ 是一个从 Hilbert 空间到 Hilbert 空间的线性变换。

这一定义与对于态 $\phi$ 进行测量时发生的 “波函数塌缩” 过程无关（这一过程无法用数学描述），指导原则是量子态应该满足的态叠加原理。其物理内涵则是与力学量在状态 $\phi$ 下的平均值有关的。

换言之，当许多个量子客体在相同的初始条件下被制备出来之后，人们对它们逐一地进行同一力学量 $\hat{Q}$ 的测量，原则上会得到不同读数，但其平均值是确定的（由上 (1) 式给出）。

(1) 式重要性在于，将力学量算符 $\hat{Q}$ 的定义从其本征态集合 $\{\phi_n\}$ 推广到了量子客体所有可能状态构成的线性空间中的一个线性变换。

# 线性空间及线性变换 ^[1][2]

线性空间：一种集合，在它的元素之间可以定义加法 “$+$” ，也可以定义它的一个元素和一个复数的数乘。一个线性空间中的元素叫做向量。即有限维空间 $\{\vec{u}\}$ ，满足 $\vec{u}_1+\vec{u}_{2}\in \{\vec{u}\}$（平行四边形法则）和 $\alpha\vec{u}\in \{\vec{u}\}$（加倍）。无限维空间 $\{\phi\}\in L^{2}(\Omega)$ 也满足 $\phi_{1}+\phi_{2}\in \{\vec{u}\}$ 和 $\alpha\phi\in L^{2}(\Omega)$。

有限维空间 $V$ 总能找到一组线性无关的向量组将一线性算符写成一个矩阵：

$$\vec{u}=C_1\vec{u}_1+C_2\vec{u}_2+\cdots+C_n\vec{u}_{n}$$

$\hat{A}\vec{u}=\vec{v}$，$\hat{A}\in V$ ，线性组合 $\hat{A}$ 总是能把 $\vec{u}$映射到 $\vec{v}$上。

$$\hat{A}\left(\alpha\vec{u}_{1}+\beta\vec{u}_{2}\right)=\alpha\hat{A}\vec{u}_{1}+\beta\hat{A}\vec{u}_{2}=\alpha\vec{v}_{1}+\beta\vec{v}_{2}$$

$$\begin{cases} \hat{A}\vec{u}_{1}=\vec{v}_{1}=a_{11}\vec{u}_{1}+a_{12}\vec{u}_{2}+\cdots+a_{1n}\vec{u}_{n}\\[1em] \hat{A}\vec{u}_{2}=\vec{v}_{2}=a_{21}\vec{u}_{1}+a_{22}\vec{u}_{2}+\cdots+a_{2n}\vec{u}_{n}\\[1em] \hspace{10pt}\vdots\\[1em] \hat{A}\vec{u}_{n}=\vec{v}_{n}=a_{n1}\vec{u}_{1}+a_{n2}\vec{u}_{2}+\cdots+a_{nn}\vec{u}_{n} \end{cases} \qquad \hat{A}=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

对有限维空间，求迹 $\mathrm{Tr}\,{A}=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$，且对于两个矩阵 $\underline{A}$，$\underline{B}$ 有 $\mathrm{Tr}\,{A}(\underline{A}\,\underline{B})=\mathrm{Tr}{\underline{B}\,\underline{A}}$ ；对于无限维空间，没有求迹公式。

在一个线性空间 $V$ 上，若一个变换 $\hat{A}\colon V\to V$ 满足关系：$\hat{A}\left(\mathrm{C}_{1}V_{1}+\mathrm{C}_{2}V_{2}\right)=\mathrm{C}_{1}\hat{A}V_{1}+\mathrm{C}_{2}\hat{A}V_{2}$，$V_{1}$ 和 $V_{2}$ 为任意两个变量，$\mathrm{C}_{1}$ 和 $\mathrm{C}_{2}$ 是两个任意复常数，$\hat{A}$ 被称为线性算符。

$\displaystyle\hat{P}_{x}=\frac{\hbar}{\mathrm{i}}\frac{\partial}{\partial x}=-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ 即是线性空间 $L^{2}\left(-\infty,\infty\right)$ 上的一个线性算符。

在有限维线性空间中，我们总可以找到一组线性无关的向量组，从而将一个线性算符写成一个矩阵。在无限维线性空间（如 $L^{2}(\Omega)$）中不一定成立。特别的，$\hat{x}$ 与 $\hat{P}_{x}$ 不可能写成矩阵的形式。

一个算符的 $n$ 次幂定义作 $\hat{A}^{n}=\underbrace{\hat{A}\cdot\hat{A}\cdots\hat{A}}_{n}$，有 $\hat{A}^{n}\psi=\hat{A}[\hat{A}(\hat{A}\cdots)\hat{A}\psi]$ 。当一个算符是一对一时，可定义它的逆 $\hat{A}^{-1}$，并且有 $\hat{A}\cdot\hat{A}^{-1}=\hat{A}^{-1}\cdot\hat{A}=\hat{I}$。

利用 Taylor 展开的表达式：

$$F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}F(x)\left.\right|_{x=0}=F(0)+F^{\prime}(x)x+\frac{1}{2!}F^{\prime\prime}(0)x^{2}+\cdots$$

定义如下一个算符的函数：

$$f(\hat{A})=f(0)\hat{I}+f^{\prime}(0)\hat{A}+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)\hat{A}^{2}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}f^{n}(\hat{A})\left.\right|_{x=0}\hat{A}^{n}$$

引入内积的定义：将与两个向量 $\vec{u}$和 $\vec{v}$相关的双线性函数 $(\vec{u},\vec{v})$ 称为建立在线性空间 $V$ 上的一个内积。内积可以有不同的形式，将线性空间视为一个平地，则内积就是线性空间的一个结构。比如对于 $P_{1}+P_{2}+\cdots+P_{n}=1(P_{n}>0)$，有 $(\vec{u},\vec{v})_{\text{日式}}=\sum_{n=1}^{\infty}P_{n}u_{n}^{*}v_{n}$。
对于 $\vec{u}=\begin{pmatrix}u_{1}\\ u_{2}\\ u_{3}\\\vdots\\ u_{n}\end{pmatrix},\;\vec{v}=\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\\\vdots\\ v_{n}\end{pmatrix}$，内积 $\displaystyle(\vec{u},\vec{v})=\sum_{n=1}^{\mathbb{N}}u_{n}^{*}v_{n}$，取一有限维线性空间 $V$，任取它一组线性无关基底 $\{e_{i}\}$，则 $V$ 中的任何一个向量 $\vec{v}$都可以按这组基底展开。

内积的性质：

1. 对于任意向量 $\vec{u}\in{V}$，都有 $(\vec{u},\vec{u})\geq 0$，当且仅当 $\vec{u}=0$ 时， $(\vec{u},\vec{u})=0$

   $$\boxed{0=(\vec{u},\vec{u})=\sum_{n=1}^{N}u_{n}^{*}u_{n}=\sum_{n=1}^{N}|u_{n}|^2\Rightarrow|\vec{u}|=0}$$

2. (\vec{u},\vec{v})=(\vec{v},\vec{u})^
3. 线性：$(\vec{u},C_1\vec{v}+C_2\vec{w})=C_1(\vec{u},\vec{v})+C_{2}(\vec{u},\vec{w})$
4. 反线性：$(C_1\vec{u_1}+C_2\vec{u_2},\vec{v})=C_1^{*}(\vec{u_1},\vec{v})+C_2^{*}(\vec{u_2},\vec{v})$
5. $(\vec{u},C\vec{v})=C(\vec{u},\vec{v})$ 或 $(C\vec{u},\vec{v})=C^{*}(\vec{u},\vec{v})$

内积的引入使得线性空间 $V$ 具有了距离的概念，从而可以讨论线性空间中向量的极限和连续性问题。

对于平方可积函数空间 $L^{2}(\Omega)$，定义内积为

$$\boxed{(\varphi,\psi)=\int_{\Omega}\varphi^{*}(\vec{r})\psi(\vec{r})\mathrm{d}\vec{r}}$$

其中 $\Omega$ 是三维空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的某个区域。

$$0=(\psi,\psi)=\int_{\Omega}\psi^{*}(\vec{r})\psi(\vec{r})\mathrm{d}\vec{r}=\int_{\Omega}|\psi(\vec{r})|^{2}\mathrm{d}\vec{r}$$

但是数学上不能推出 $\psi(\vec{r})=0$，因为 $\psi(\vec{r})$ 可能在 $\Omega$ 的某些点上不为 0，但这些点的测度为 0，最多只能说是 $\psi(\vec{r})$ 几乎处处为 0。物理上可以说是 0，因为 Shrödinger 方程的解都是线性的。

对于线性空间 $V$ 的线性算符 $\hat{A}$、$\hat{B}$，任意 $\vec{u},\vec{v}\in V$ 都有 $(\vec{u},\hat{A}\vec{v})=(\hat{B}\vec{u},\vec{v})$，则称算符 $\hat{B}$ 为算符 $\hat{A}$ 的共轭算符，记为 $\hat{A}^{\dagger}$。特别是当 $\hat{A}=\hat{A}^{\dagger}$ 时，称 $\hat{A}$ 为厄米算符 Hermitian（或者叫自共轭算符。

按厄米算符定义，有

1. \hat{A}^\dagger=\hat{A}, \hat{B}^\dagger=\hat{B}\Rightarrow (\hat{A}+\hat{B})^\dagger=\hat{A}^\dagger+\hat{B}^\dagger=\hat{A}+\hat
2. $\hat{A}^\dagger=\hat{A}, \hat{B}^\dagger=\hat{B}$ 并且 $\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}=\hat{B}\hat{A}\Rightarrow \hat{D}=\hat{A}\hat{B}$ 亦是厄米算符、

定理 3.1：厄米算符 $\hat{A}$ 当且仅当对于任何一个波函数 $\phi$，平均值 $(\phi,\hat{A}\phi)$ 都是实数。
Dirac 要求量子力学中任何一个力学量所对应的一定是线性且厄米的。

定理 3.2：厄米算符 $\hat{A}$ 的本征值都是实数。
厄米算符 $\hat{F}$ 满足 $\int\phi^*(\hat{F}\psi)\mathrm{d}\vec{x}=\int(\hat{F}\phi)^*\psi\mathrm{d}\vec{x}$有 $\hat{F}\psi=\lambda\psi$，$\lambda$ 为 $\hat{F}$ 的本征值，$\psi$ 为 $\hat{F}$ 的本征态。
令 $\phi=\psi$，则
左边：$\int\psi^*(\hat{F}\psi)\mathrm{d}\vec{x}=\int\psi^*(\lambda\psi)\mathrm{d}\vec{x}=\lambda\int\psi^*\psi\mathrm{d}\vec{x}=\lambda$
右边：$\int(\hat{F}\psi)^*\psi\mathrm{d}\vec{x}=\int(\lambda\psi)^*\psi\mathrm{d}\vec{x}=\lambda^*\int\psi^*\psi\mathrm{d}\vec{x}=\lambda^*$

$$\lambda=\lambda^*$$

取复共轭等于自身，说明 $\lambda$ 一定是实数（实函数），不可能是复数（复函数），更不可能是纯虚数（纯虚函数）。

从线性代数中，对于任何一个复矩阵，我们总可以找到一个向量 $\vec{v}$，使得 $\hat{A}\vec{v}=\lambda\vec{v}$，$\lambda$ 可能复数，为 $\hat{A}$ 的本征值，$\vec{v}$称为相应的本征向量。从而推广到作用于无穷维线性空间中的算符。

$$\boxed{\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}=\vec{v}\neq 0\text{（至少一个分量}\neq 0\text{）}}$$

定理 3.3：厄米算符 $\hat{A}$ 的不同本征值所对应的本征函数彼此是正交归一化的。

对于算符 $\hat{O}$ 的一个本征值 ，可能只有一个本征态 与之对应，称为非简并的（non-degenerate）；也可能有多个（$k$ 个）线性无关的本征函数与之对应，称为 $k$ 重简并的（k-fold degenerate）。对于简并的本征值，可以从它所对应的本征态中任选一个归一化的线性组合，仍然是该本征值所对应的本征态。

# 力学量的矩阵表示

# 表象变换

# 参考资料