第零章 数学基础

§ 前置知识

• 高中函数和三角变换部分
• 高等数学（微分表、积分表^[1]）
• 线性代数
• 数学物理方法（本科阶段通常是复变函数和微分方程）
• 一点概率论（知道啥是概率密度^[2]）
• 五小力学、分析力学、电动力学、热统（非物理科班：大学物理学）
• 教材相关^{[3][4][5][6][7]}

§ 球坐标下拉普拉斯算符的表示

球坐标与直角坐标的关系：

$$\begin{aligned} x=r\sin{\theta}\cos{\varphi},\quad y=r\sin{\theta}\sin{\varphi},\quad z=r\cos{\theta} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\quad \theta=\arctan{\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}},\\ \varphi=\arctan{\frac{y}{x}} \end{aligned}$$

哈密顿算子（Nabla算子）：

$$\begin{aligned} \nabla&=\frac{\partial}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial{y}}\vec{j}+\frac{\partial}{\partial{z}}\vec{k}\\ &=\hat{e}_r\frac{\partial}{\partial{r}}+\hat{e}_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\hat{e}_\varphi\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial{\varphi}} \end{aligned}$$

拉普拉斯算符：

$$\begin{aligned} \nabla^2&=\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{z^2}}\\ &=\frac{\partial^2}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial{r^2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial{r}}+\frac{1}{r^2}\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial{\theta}}\\ &\;\;\quad+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial{\varphi^2}}\\ &=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial{r}}r^2\frac{\partial}{\partial{r}}+\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial{\theta}}\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial{\theta}}\\ &\;\;\quad+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial{\varphi^2}} \end{aligned}$$

§ 柱坐标下拉普拉斯算符的表示

柱坐标与直角坐标的关系：

$$x=\rho\cos\varphi,\quad y=\rho\sin\varphi,\quad z=z$$

$$x^2+y^2=\rho^2,\quad \frac{y}{x}=\tan\varphi,\quad z=z$$

哈密顿算子（Nabla算子）：

$$\begin{aligned} \nabla&=\frac{\partial}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial{y}}\vec{j}+\frac{\partial}{\partial{z}}\vec{k}\\ &=\hat{e}_{\rho}\frac{\partial}{\partial{\rho}}+\hat{e}_{\varphi}\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\varphi}+\hat{e}_z\frac{\partial}{\partial{z}} \end{aligned}$$

拉普拉斯算符：

$$\begin{aligned} \nabla^2&=\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{z^2}}\\ &=\frac{\partial^2}{\partial\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial{\rho}}+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}+\frac{\partial^2}{\partial{z^2}}\\ &=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\rho\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}+\frac{\partial^2}{\partial{z^2}} \end{aligned}$$

§ 狄拉克 δ 函数

§ 定义

Dirac 引入 $\delta$ 函数定义，对于多维空间中：

$$\delta(x)=\begin{cases}\infty,&x=0\\[2ex]0,&x\neq 0\end{cases} \quad\text{且}\quad\int_{-\infty}^\infty{\delta(x)}\,\mathrm{d}x=1$$

$\delta$ 函数在数学上可以通过分布理论^[8]严格化。$\delta$ 函数又叫脉冲函数，它是一个广义函数（泛函）。

§ δ 函数的几种表达方式

实际应用中，$\delta$ 函数常用某些函数的极限形式表达。

1. $\lim\limits_{\delta \to 0}\frac{1}{\sqrt{2\pi\delta}}e^{-\frac{x^2}{2\delta}}=\delta(x)$
2. $\lim\limits_{\alpha\to\infty}\frac{\sin{\alpha x}}{\pi x}=\delta(x)$
3. $\color{red}{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\,\rm{d}k=\delta(x)}$或者$\color{red}{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\,\mathrm{d}x=\delta(k)}$
4. $\lim\limits_{\sigma\to 0^+}\frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}=\delta(x)$
5. $\color{red}{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(k-k^{\prime})x}\,\mathrm{d}\vec{r}=\delta(k-k^{\prime})}$
6. $\color{red}{\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}-\vec{p^{\prime}})x}\,\mathrm{d}x=\delta(\vec{p}-\vec{p^{\prime}})}$（一维）
7. $\color{red}{\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}-\vec{p^{\prime}})\vec{r}}\,\mathrm{d}\vec{r}=\delta(\vec{p}-\vec{p^{\prime}})}$（三维）

§ δ 函数的性质

1. 对称性（ $\delta$ 函数是偶函数）：$\delta(-x)=\delta(x)$

2. 挑选性（筛选性）

   对于任何连续函数 $f(x)$ ：

   $$\int_{\infty}^{-\infty}f(x)\delta(x-a)\,\mathrm{d}x=f(a)$$

   特别地，当 $a=0$ 时，$\int_{\infty}^{-\infty}f(x)\delta(x)\,\mathrm{d}x=f(0)$

   有一个 $\delta(x)$ 脱去一个积分号 $\int$ 或求和号 $\sum$

3. 放缩或相似性：

   $$\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)$$

4. $\varphi(x)$ 是一个二次以上可导函数。设 $\{x_i\}$ 为其单零点的集合，即在任意一点 $x_i$ 处，我们有 $\varphi(x_i)=0$ ，$\varphi^{\prime}(x_i)\neq 0$ ，那么有：

   $$\delta(\varphi(x))=\sum_{i}^{N}{\frac{\delta(x-x_i)}{|\varphi^{\prime}(x_i)|}}$$

5. $$\int_{R^n}f(x)[\nabla\delta(x-a)]\,\mathrm{d}x=\left.-\nabla f(x)\right|_{x=a}$$

6. 位矢的微分：

   $$\nabla\cdot\frac{\vec{r}}{r^3}=-\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=4\pi\delta(\vec{r})$$

§ 矢量分析

1. $\nabla(\vec{A}\cdot\vec{v})=(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{v}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A}+\vec{A}\times(\nabla\times\vec{v})+\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})$

2. $\nabla=\frac{\partial}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial{y}}\vec{j}+\frac{\partial}{\partial{z}}\vec{k}$
   $\nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\nabla(\frac{\partial}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial{y}}\vec{j}+\frac{\partial}{\partial{z}}\vec{k})=\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{z^2}}$

§ 无穷级数

函数直接展开为 $x$ 的幂级数：

1. 求 $f(x)$ 的各阶导数 $f^{\prime}(x),\;f^{\prime\prime}(x),\;\cdots\;,\;f^{(n)}(x),\;\cdots\;$；

2. 求出函数及其各阶导数在 $x=0$ 处的值 $f(0),\; f^{\prime}(0),\; f^{\prime\prime}(0),\;\cdots\;,\;f^{(n)}(0),\;\cdots\;$；

3. 写出幂级数 $f(0)+f^{\prime}(0)\,x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}\,x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n+\cdots$ ，并求出收敛半径：$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$；

4. 验证余项 $\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\theta x)x^{n+1}$ 是否为零，如果为零，则函数 $f(x)$ 在区间 $(-R,R)$ 的幂级数展开式为：

   $$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)\,x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}\,x^2+\cdots+\frac{f^{n}(0)}{n!}\,x^n+\cdots\,,\quad x\in(-R,R)$$

$f(x)$ 在 $x_0$ 点的泰勒级数：

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)\,(x-x_0)^n,\quad x\in U(x_0)$$

当 $x_0=0$ 时，级数

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)\,x^n$$

称为麦克劳林级数。

如果 $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 内具有各阶导数，则

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)\,(x-x_0)^n\Longleftrightarrow\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$$

常见函数的泰勒级数：

1. $\cos\alpha=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\,\alpha^{2k}}{(2k)!},\quad n=0,2,4,\ldots$
2. $\sin\alpha=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\,\alpha^{2k+1}}{(2k+1)!},\quad n=1,3,5,\ldots$
3. $e^{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\,$
4. $a^{x}=e^{x\ln{a}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln{a})^n}{n!}\,x^n$
5. $\ln{(1+x)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},\quad x\in (-1,1]$
6. $(1+x)^m=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}\,x^n,\quad x\in (-1,1)$
7. $\frac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^n,\quad x\in (-1,1)$
8. $\arctan{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\,x^{2n+1},\quad x\in [-1,1]$

§ 补充

§ 三角变换

$\sin(\alpha\pm \beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha\pm \beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta$

§ 其它

1. $\int_{0}^{\infty} x^{n}\,e^{-ax}=\frac{n!}{a^{n+1}}\,$

2. 高斯积分公式：

   $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{n}{a}}$$

   或者

   $$\int_{0}^{\infty}x^{2n}\,e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{2^{n+1}a^n}\sqrt{\frac{n}{a}}$$

3. $\eta=\xi\tan{\xi}$ 与 $\xi^{2}+\eta^{2}=Q^{2}$：

§ 参考资料