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分布理论^[1]

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$\KaTeX$ $\LaTeX$ $\TeX$

# 狄拉克符号测试

$$\braket{\phi\vert\psi}$$

$$\widehat{\text{考研}}\ket{\text{我}} = \lambda\ket{\text{我}}$$

$$\begin{aligned} [xL_x,L_z]&=[x,L_z]L_x+x[L_x,L_z]\\ &=-i{\hbar}yL_x-i{\hbar}xL_y \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} [x,L_z]=-i{\hbar}y\\ [\alpha,L_{\beta}]=i{\hbar}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\gamma\\ [L_x,L_z]=-i{\hbar}L_y \\ \end{aligned}$$

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# 图片、表格

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表格交叉引用：表 2-1 表 2-2 自定义 $\KaTeX$ 宏

# 音乐、视频

# 练习题

1. 编译时多态主要指运算符重载与函数重载，而运行时多态主要指虚函数。

2. 有基类 SHAPE ，派生类 CIRCLE ，声明如下变量：

   	SHAPE shape1,*p1;
   	CIRCLE circle1,*q1;

   下列哪些项是 “派生类对象替换基类对象”。

   • p1=&circle1;
   • q1=&shape1;
   • shape1=circle1;
   • circle1=shape1;

   • ✔️ 令基类对象的指针指向派生类对象
   • ❌ 派生类指针指向基类的引用
   • ✔️ 派生类对象给基类对象赋值
   • ❌ 基类对象给派生类对象赋值

3. 下列叙述正确的是 D。

   • 虚函数只能定义成无参函数
   • 虚函数不能有返回值
   • 能定义虚构造函数
   • A、B、C 都不对

   解析

4. 如果定义 int e=8; double f=6.4, g=8.9; ，则表达式 f+int (e/3*int (f+g)/2)%4 的值为 9.4。

   注意运算顺序和数据类型
   8.4

5. 态叠加原理。

   若 $\psi_1\left(\vec{r},t\right)$ 和 $\psi_2\left(\vec{r},t\right)$ 分别代表体系的两个可能的运动状态，则它们的任何一个线性叠加 $\tilde{\psi}\left(\vec{r},t\right)=C_1\psi_1\left(\vec{r},t\right)+C_2\psi_2\left(\vec{r},t\right)$ 也是体系的一个可能的状态。

6. 写出以下代码段的执行结果：

   print("Hello World!");

   Hello World!

7. 证明厄米算符的本征值是实数。

   以 $\lambda$ 表示 $\hat{F}$ 的本征值，$\psi$ 表示所属的本征函数，则有 $\hat{F}\psi=\lambda\psi$ 。
   根据厄米算符的定义：

   $$\int{\psi^{*}\hat{F}\phi\,\mathrm{d}x}=\int{(\hat{F}\psi)^{*}\phi\,\mathrm{d}x}$$

   若取 $\phi=\psi$ ，于是有：

   $$\lambda\int{\psi^{*}\psi\,\mathrm{d}x}=\lambda^{*}\int{\psi^{*}\psi\,\mathrm{d}x}$$

   由此得：

   $$\lambda=\lambda^{*}$$

   即 $\lambda$ 为实数。证毕

8. 已知：粒子作一维运动，$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2\mu}+V(x)$ ，定态波函数为 $\ket{n}:\;\hat{H}\ket{n}=E_n\ket{n},\;n=1,2,\cdots$ 。
   （1）证明 $\bra{n}\hat{p}\ket{m}=a_{nm}\bra{n}x\ket{m}$ (1) 并求系数 $a_{nm}$ ；
   （2）利用式 (1) 推导求和公式 $\sum_{n}(E_n-E_m)^2\vert\bra{n}x\ket{m}\vert^2=\frac{\hbar^2}{\mu^2}\bra{n}p^2\ket{m}$ (2) ；
   （3）证明 $\sum_{n}(E_n-E_m)\vert\bra{n}x\ket{m}\vert^2=\frac{\hbar^2}{2\mu}\;$ (3) 。

   （1）利用对易关系式

   $$\left[x,\hat{H}\right]=\left[x,\frac{\hat{p}^2}{2\mu}+V(x)\right]=\frac{\mathrm{i}\hbar}{\mu}\hat{p}\tag{4}$$

   可以将动量 $\hat{p}$ 表示为

   $$\hat{p}=\frac{\mu}{\mathrm{i}\hbar}\left[x,\hat{H}\right]\tag{5}$$

   \begin{align*} \left\langle n\right|\hat{p}\left|m\right\rangle &=\frac{\mu}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle n\right|\left[x,\hat{H}\right]\left|m\right\rangle\\ &=\frac{\mu}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle n\right|\left(x\hat{H}-\hat{H}x\right)\left|m\right\rangle\\ &=\frac{\mathrm{i}\mu}{\hbar}(E_n-E_m)\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\tag{6} \end{align*}

   式 (1) 得证，且

   $$a_{nm}=\frac{\mathrm{i}\mu}{\hbar}(E_n-E_m)\tag{7}$$

   式 (6) 可以表示为

   $$(E_n-E_m)\bra{n}x\ket{m}=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{\mu}\bra{n}\hat{p}\ket{m}\tag{8}$$

   （2）利用式 (8) 与 $\ket{n}$ 的完备性公式 $\textcolor{red}{\displaystyle\sum_{n}\ket{n}\bra{n}=1}$ ，

   \begin{align*} &\sum_{n}(E_n-E_m)^2|\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle|^2\\ &=-\sum_{n}\left\langle m\right|x\left|n\right\rangle(E_n-E_m)\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\\ &=-\left(-\frac{\mathrm{i}\hbar}{\mu}\right)^2\sum_{n}\left\langle m\right|\hat{p}\left|n\right\rangle\left\langle n\right|\hat{p}\left|m\right\rangle\\ &\quad\;-\frac{\hbar^2}{\mu^2}\left\langle m\right|\hat{p}\sum_{n}\left|n\right\rangle\left\langle n\right|\hat{p}\left|m\right\rangle\\ &=\frac{\hbar^2}{\mu^2}\left\langle m\right|\hat{p}^2\left|m\right\rangle\tag{9} \end{align*}

   式 (2) 得证
   （3）仍然利用式 (8) 与 $\ket{n}$ 的完备性公式：$\textcolor{red}{\displaystyle\sum_{n}\ket{n}\bra{n}=1}$ ，证明式 (3)：

   \begin{align*} &\sum_{n}(E_n-E_m)|\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle|^2\\ &=\sum_{n}(E_n-E_m)\left\langle m\right|x\left|n\right\rangle\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\\ &=\frac{1}{2}\sum_{n}\Big[(E_n-E_m)\left\langle m\right|x\left|n\right\rangle\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\\ &\qquad\qquad\quad -(E_m-E_n)\left\langle m\right|x\left|n\right\rangle\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\Big]\\ &=\frac{1}{2}\sum_{n}\Big(-\frac{\mathrm{i}\hbar}{\mu}\left\langle m\right|x\left|n\right\rangle\left\langle n\right|\hat{p}\left|m\right\rangle\\ &\qquad\qquad\quad +\frac{\mathrm{i}\hbar}{\mu}\left\langle m\right|\hat{p}\left|n\right\rangle\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\Big)\\ &=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2\mu}\Big(\left\langle m\right|x\sum_{n}\left|n\right\rangle\left\langle n\right|\hat{p}\left|m\right\rangle\\ &\qquad\qquad\quad -\left\langle m\right|\hat{p}\sum_{n}\left|n\right\rangle\left\langle n\right|x\left|m\right\rangle\Big)\\ &=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2\mu}\left\langle m\right|x\hat{p}-\hat{p} x\left|m\right\rangle\\ &=\frac{\hbar^2}{2\mu}\tag{10} \end{align*}

9. 两数之和。来源：LeetCode
   给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target ，请你在该数组中找出和为目标值 target 的那两个整数，并返回它们的数组下标。你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。你可以按任意顺序返回答案。
   示例 1：
   

   输入：nums = [2,7,11,15], target = 9
   输出：[0,1]
   解释：因为 nums [0] + nums [1] == 9 ，返回 [0, 1] 。

   示例 2：
   

   输入：nums = [3,2,4], target = 6
   输出：[1,2]

   示例 3：
   

   输入：nums = [3,3], target = 6
   输出：[0,1]

   提示：
   
   • 2 <= nums.length <= 104
   • -109 <= nums[i] <= 109
   • -109 <= target <= 109
   • 只会存在一个有效答案
   进阶：你可以想出一个时间复杂度小于 O(n2) 的算法吗？

   	class Solution:
   	def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
   	length = len(nums)
   	for i in range(length):
   	num = target - nums[i]
   	if num in nums:
   	j = nums.index(num)
   	if i != j:
   	return i, j

# 思维导图

# 从文件中插入代码

春江潮水连海平，海上明月共潮生。

滟滟随波千万里，何处春江无月明！

江流宛转绕芳甸，月照花林皆似霰。

空里流霜不觉飞，汀上白沙看不见。

江天一色无纤尘，皎皎空中孤月轮。

江畔何人初见月？江月何年初照人？

人生代代无穷已，江月年年望相似。

不知江月待何人，但见长江送流水。

白云一片去悠悠，青枫浦上不胜愁。

谁家今夜扁舟子？何处相思明月楼？

可怜楼上月裴回，应照离人妆镜台。

玉户帘中卷不去，捣衣砧上拂还来。

此时相望不相闻，愿逐月华流照君。

// 量子随机数生成器

def quantumRandomNumber(n: ℕ): ℕ {

  v := vector(n, 0: 𝔹);

  for i in [0..n) {

    v[i] := H(false);

  }

  return measure(v);

}

// 量子傅里叶变换

def qft(n: ℕ, q: ℕ) {

  for i in [0..n) {

    H(q[i]);

    for j in [i+1..n) {

      CPhase(π / 2^(j-i), q[j], q[i]);

    }

  }

}

// 主函数

def main() {

  // 生成 5 位量子随机数

  random := quantumRandomNumber(5);

  println("随机数: ", random);

  // 创建量子状态

  state := 0: ℕ[2];

  qft(2, state);

  // 断言检查

  assert(random ≥ 0 && random < 32, "随机数超出范围");

  /* 这是一个多行注释

     演示注释高亮效果 */

  return 0;

}

// 特殊字符测试

def testSpecialChars() {

  // 支持的类型字符

  x: 𝟙 = ();

  y: 𝔹 = true;

  z: ℕ = 42;

  w: ℤ = -1;

  r: ℝ = 3.14;

  // 内置函数

  H(y);

  phase(π/2, y);

  rotX(π/4, y);

  measure(y);

  return;

}

def main() {

    x := 0: 𝔹;

    x := H(x);

    return measure(x);

}

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# 参考资料